Løsning til geodæsi øvelse 3

 

Opgave 3.1

 

Centrifugal potentialet er givet ved,

 

hvor er den geocentriske bredde. Værdien af  på ækvator (dvs. ) skal beregnes, idet der benyttes GRS1980 ellipsoide parametre [s. 116-117, Torge]

da vi befinder os på ækvator, så er . Herved fås,

 [m2/s2]

 

Opgave 3.2

 

Nu udregnes potentialet   for punktet med geografiske koordinater =56°, =10° og h=0 m. 

Den geocentriske bredde  og radius r er kendt fra opgave 1.1 (Øvelse 1)

   ved indsættelse i ligningen fås,

 [m2/s2]

 

Opgave 3.3

 

Gradienten for punktet fra opgave 3.2 skal udregnes. Gradienten i lokale sfæriske koordinater er givet ved,

 

 

 

 , da

 

I punktet med  og fås gradienten,

 [m/s2]

[m/s2]

 

Tyngdevektoren er givet ved,

    [ligning 3.40, Torge]

hvor  , altså bidraget fra centrifugal accelerationen og  er tiltrækningen fra jordens masse, altså gravitations bidraget.

 

Opgave 3.4

 

Månens masse Mm er 735 x 1020 kg og radius rm er 1717.7 km. Tyngden på Månen er herved,

   [m /s-2]   

G = gravitations konstanten = 6.67259 x 10-11 [m3 / kg*s2]    [se ligning 2.3, Torge]

 

 

Opgave 3.5

 

Månens massetiltrækning i to punkter på jorden A og B (se figuren nedenfor) skal beregnes. Jorden antages for værende en kugle. Afstanden mellem jord og måne centrene er 60 jord radier.

 

Månens tiltrækning i punkt A, som er 61 jordradier fra månens centrum er,    [m /s-2]   

Månens tiltrækning i punkt B, som er 59 jordradier fra månens centrum er,

  [m /s-2]   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Opgave 3.6

 

Jorden regnes kugleformig med radius rj = 6371 km og GMj = 3.98x1014 m3/s2.

Da Jorden regnes kugleformig kan vi benytte  og r=a=6371 km.

Det samlede potentiale (”V” jordens masse tiltrækning + ”” rotation) er givet ved,

Gradienten af potentialet W givet i sfæriske koordinater er (som i opgave 3.3)

                            bemærk det ekstra led -GM/r2

                                det samme som i opgave 3.3 !

                                                det samme som i opgave 3.3 !

 

I punktet og r=6371 km er gradienten,

 

 [m/s2]

  [m/s2]

 

 

 

 

Opgave 3.7

 

Laplaceoperatoren anvendt på  skal beregnes. Dette kan gøres på en let måde ved at benytte kartesiske koordinater eller svær måde ved at benytte sfæriske koordinater. Vi starter med den lette måde,

Af ligning 4.6 + 4.9 fra Torge (side 93-94) fremgår det at,

 

Potentialet kan således omskrives til,

  

Laplaceoperatoren i kartesiske koordinater er

 

Opgaven er nu løst, men alligevel skal i se hvad man kan komme ud for i sfæriske koordinater !

 

 

Laplaceoperatoren anvendt på  i sfæriske koordinater er givet ved,

Det sidste led C = 0, da  ikke afhænger af

 

 

Nu har vi pænt udtryk for A og et tilsvarende udtryk for led B udledes,

 

Herved fås Laplaceoperatoren anvendt på

 

 

 

Opgave 3.8

 

Jorden regnes kugleformig med radius rj = 6371 km og GMj = 3.98x1014 m3/s2.

Rotations hastigheden skal beregnes, idet centrifugal potentialet skal være lig massetiltrækningen ved ækvator.

Massetiltrækningen er givet ved,

centrifugalaccelerationen er.

Ved ækvator  fås

 

 

Opgave 3.9

   

Find et udtryk for  (brug ligning 3.80a, Torge)

 

 

 

 

Opgave 3.10

 

og er ortogonale hvis integralet over enhedskuglen er lig 0,

Læs mere på side 69 i Torge.

Et overflade element er givet ved,

 herved fås,

husk der gælder,

  

Det er dog nemmere at vise ortogonaliteten ved at benytte sinus da m=0,

    for m = 0

 

 

 

 

 

 

Opgave 3.11

 

Vis at f er harmonisk, dvs at

     se nederst side 68 i Torge

Bemærk at

Herved fås,

f er harmonisk hvis Laplace operatoren virkende på f er lig 0,

Dette regnes som i opgave 3.7,

 

Det sidste led C er lig = 0, da f ikke afhænger af

Det første led A giver,

Tilsvarende findes et udtryk for B,

 

Nu kan Laplace operatoren skrives ved,

 

 

Opgave 3.12

 

Funktionen f fra opgave 3.11 skal udtrykkes i Cartesiske koordinater (x,y,z)

Vi betragter fortsat jorden som en kugle dvs,    (se ligning 2.14 i Torge)

Herved fås,

 

 

Opgave 3.13

 

Et potentiale er givet ved,

med følgende GRS1980 værdier,

 

Desuden er,

 

Potentialet skal beregnes for hhv. nordpolen, ækvator, og punktet fra opgave 1.1 alle med h = 0.

Nordpol:

=90°, =0° og 

Ved indsættelse ligning W=… fås

 

Ækvator:

=0°, =0° og 

 

Punkt fra opgave 1.1:

=56°, =10° og h=0 m.  dvs

=55.82°, =10° og 

 

 

Opgave 3.14

 

Tyngdevektoren skal beregnes for de 3 punkter fra opgave 3.13, samt et punkt 100 m over ellipsoiden ved ækvator.

 

 

 

 

 

 

 

Ved indsættelse af koordinaterne fås,

 

 

 

 

 

 

 

metode 2:

 kan også bestemmes udfra   ,idet en friluft korrektion er givet ved

således er